Zomer 2021     4. Wiskunde en voorspelbaarheid. Als je je nog niet hebt afgevraagd wat het nut van wiskunde is, dan is dit misschien een goed moment om dat te doen. Is wiskunde almachtig? Toen ik jonger was, was een van mijn favoriete citaten: "Wie zegt dat wiskunde gelijk heeft?" Dit was en is voor de meesten van ons nog steeds een nogal gewaagde en misschien zelfs domme vraag om te stellen. Ik ben het helemaal met je eens, maar betekent dat dat we de praktische toepassing van de wiskunde niet in twijfel mogen of moeten trekken? Ik ben nu wat milder, minder een rebel, en mijn vraag is nu een beetje veranderd. Het klinkt nu meer als "Wie zegt dat wiskunde onder alle omstandigheden klopt?" Dat lijkt er meer op, toch? Een van de nuttigste eigenschappen van wiskunde is het voorspellende karakter ervan. Dit is in feite de kern van wiskunde en de link met de realiteit. Maar, wanneer wiskunde wordt gebruikt om natuurkundige voorspellingen te doen, ontstaat er vroeg of laat een discrepantie tussen wiskunde en de echte wereld. Met andere woorden, één enkele wiskundige formule kan niet onbeperkt worden gebruikt om de natuur te beschrijven. De natuur volgt niet noodzakelijkerwijs wiskundige regels. In plaats daarvan gebruiken we wiskunde om fysische processen te beschrijven binnen welbepaalde grenzen. Zodra wij een formule hebben die een bepaald facet van de fysica zeer goed beschrijft, merken wij dat dit vermogen om natuurwetten te voorspellen door middel van die formule beperkt is tot binnen een zeer bepaald bereik van parameters. Zodra we parameters invoeren die buiten dit bereik vallen, wordt de voorspelbaarheid van de wiskunde onzeker of zelfs totaal nutteloos. Dit is bijvoorbeeld het geval voor Newtoniaanse fysica versus quantumfysica. De natuur volgt geen Newtoniaanse formules op zeer kleine schaal. Vanaf een bepaald punt moet de natuurkunde worden verklaard door gebruik te maken van de formules van de kwantumfysica. Dit betekent echter niet dat we de wiskunde als zodanig in twijfel moeten trekken. Wel moeten we voortdurend het verband tussen natuurkunde en wiskunde in vraag stellen. In het kort: wiskundigen kunnen fysische processen vrij goed wiskundig beschrijven, maar er is niet één enkele formule die de hele schaal dekt. Misschien is het nu tijd voor een praktisch voorbeeld om te laten zien wat ik bedoel (en natuurkundigen weten heel goed wat dit probleem inhoudt). Laten we eens proberen uit te vinden hoeveel decimalen van π (pi) nuttig zijn. Pi is berekend tot minstens een miljoen cijfers achter de komma of misschien zelfs meer tegen de tijd dat je dit leest, maar dit soort precisie is nutteloos in de natuurkunde. Let wel, het is niet nutteloos in de wiskunde, maar dat is een heel ander verhaal. Er zijn mensen die denken dat de meest exacte waarde van π de verhouding van 22 over 7 is. Sorry, maar ik moet die mensen teleurstellen. 22 over 7 is een nogal grove benadering van de waarde van π en in de tijd dat we nog geen zakrekenmachines of computers hadden had het misschien zijn nut voor bepaalde ruwe schattingen die gemaakt moesten worden. (tussen haakjes, 22/7 = 3,142857143, terwijl π, met hetzelfde aantal decimalen, 3,141592653 zou zijn) Nu, wiskundig gezien gaat π oneindig door. Het houdt nooit op en valt nooit in een repeterend patroon, wat het zeer interessant maakt voor een groot aantal praktische wiskundige zaken. Je kunt dus de waarde van π blijven berekenen en er komt nooit een eind aan. Dat komt door het simpele feit dat de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel geen precieze veelvouden van elkaar zijn. Het is dat "niet precies" wat de truc doet. In de wiskunde kunnen we dus vrolijk door blijven rekenen met extra decimalen en π blijft groeien.  Miljoenen en miljoenen cijfers achter de komma kunnen berekend worden en toch zou de waarde van π nooit volledig gedefinieerd worden. Maar, in de natuurkunde stelt zich al gauw de vraag  waarom we zoveel decimalen nodig hebben en of we die wel kunnen gebruiken? Om dit aan te tonen beschrijf ik hieronder een praktisch voorbeeld. Stel dat we een cirkel willen construeren met zeer grote precisie. Hoeveel cijfers van π hebben we dan nodig voordat we op een punt komen waar de precisie om onze cirkel te construeren tot ver in het subatomaire niveau gaat? Pi gaat vrolijk verder en verder, maar we kunnen fysiek geen cirkel construeren voorbij een bepaalde precisie. Na een tijdje wordt het aantal decimalen van π irrelevant voor het fysische proces van het construeren van onze cirkel. Voor de lol kunnen we ook dit punt berekenen. De omtrek, C, van een cirkel is π maal de Diameter (C= πD). Dit heb je vast wel op de lagere school geleerd. Vraag nu eens aan iemand die ooit een cirkel heeft getekend hoe nauwkeurig zo'n cirkel met een bepaalde diameter kan worden getekend. De cirkel zal altijd net een heel klein beetje groter of kleiner (of beide) zijn dan wat we uiteindelijk willen bereiken. Gelooft u mij niet? Probeer het zelf maar eens en teken een cirkel met een diameter van precies 1 cm. En ik bedoel precies. Dat betekent niets meer en niets minder, zelfs geen miljoenste van een millimeter meer of minder. Stuur me je voorbeeld als je klaar bent. Het berekenen van een cirkel met enige precisie is geen groot probleem, het construeren ervan in de praktijk is dat wel. Vergelijk het met een cirkel die gecontrueerd wordt op het scherm van je PC of laptop of wat dan ook. Eenmaal je je digitale cirkel getekend hebt kan je hierop inzoomen en blijven inzoomen. Je zal zien dat vanaf een bepaald punt van inzoomen je de individuele pxels kan zien die de cirkel vormen. En die pixels vormen helemaal geen mooie ronding. Lijken van zo dichtbij zelfs niet op een deel van een cirkel. Je zult altijd rekening moeten houden met de dikte van je potlood, of wat je ook gebruikt om die cirkel te tekenen. Je zou een cirkel op een stuk papier kunnen tekenen met een precieze diameter van 1 cm als je een potlood zou gebruiken dat geen dikte had. Maar dan zou er niet veel te zien zijn, nietwaar? Dus, de lijn die je gebruikt om de cirkel te vormen die je tekent, zal altijd een bepaalde dikte hebben. Dit betekent dat -ideaal- de cirkel die je trekt altijd een binnendiameter (ID) en een buitendiameter (OD) zou hebben. Het verschil tussen de OD en de ID zou dan tweemaal de dikte van je potloodpunt zijn (en ik simplifieer dit alles nu een beetje). Laten we deze dikte van de potloodstift τ noemen. Als we aannemen dat de cirkel met de exacte diameter die we proberen te construeren precies halverwege de potlooddikte ligt, dan kan de omtrek van de OD geschreven worden als COD= π(D+τ) en de omtrek van de ID wordt CID= π(D-τ). Nu, π is een constante; we kunnen alleen het aantal decimalen van π verhogen of verlagen. Laten we onze formule een beetje herschrijven en we krijgen τ= COD/π - D Of net zo goed τ= D - CID/π En, τ=(OD-ID)/2. Deze kenden we al, maar het lastige is nu, hoe klein kunnen we τ maken? Laten we aannemen dat de kleinst fysisch mogelijke afmeting die τ kan aannemen in de praktijk de Planck-lengte (ℓP) is.  Dit zal er niet al te ver naast zitten, denk ik. Zodra π(D+τ) - π(D-τ) < ℓP is de pret voorbij. Het maakt niet uit hoeveel decimalen we verder voor π gebruiken, zodra we de precisie van π overschrijden zodat het resultaat van onze berekening kleiner is dan de Planck-lengte worden de extra decimalen in π irrelevant. Een iets minder gecompliceerd, praktischer en korter voorbeeld zou de constructie van een voorwerp van precies één meter lengte zijn. In 1960 werd besloten dat een fysisch voorwerp (een staaf van 90% platina en 10% iridium bij smeltpunt van ijs, atmosferische druk, ondersteund door twee rollen) niet nauwkeurig genoeg was om precies de lengte van één meter te definiëren. Dus werd de definitie veranderd in een bepaald aantal golflengten van licht van een gespecificeerde overgang in krypton-86 naar een nog minder fysisch object: de lengte van het pad dat licht in een vacuüm aflegt in 1/299792458 seconde. Dat betekent dat het waarschijnlijk onmogelijk is om een fysisch voorwerp van een meter lengte te maken met een grotere nauwkeurigheid dan iets van 0,2-0,1 µm. Dat is relatief onnauwkeurig en heel ver weg van de Planck-lengte. Iets meer achtergrondinformatie vind je hier. Kunnen we het er dus over eens zijn dat wiskunde een voorspellend karakter heeft, maar dat dit niet noodzakelijkerwijs de regels van de fysica volgt voor het gehele bereik van alle mogelijke parameters? Als je het hiermee eens kan zijn, lees dan vooral verder. Zo niet, dan is het misschien beter als je jezelf wat tijd en moeite bespaart en hier gewoon stopt. Meer weten? Klik dan hieronder op "VOLGENDE". OVERZICHT              VORIGE                  VOLGENDE